복소수와 이차방정식

1. 복소수
1. 허수단위
   제곱하여 이 되는 수를 기호 로 나타내고, 이것을 허수단위라고 한다. 즉
   ,
2. 복소수
   , 가 실수일 때, 의 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 하고, 를 실수부분, 를 허수부분이라 한다.
3. 복소수의 분류
1. 허수와 순허수: 복소수 는 실수에서 실수가 아닌 복소수
   를 허수라 하고, 특히 실수부분이 인 허수 를 순허수라 한다.
2. 복소수는 다음과 같이 분류할 수 있다.
   
   는 실수
3. 추가학습
• •허수에서는 대소 관계가 존재하지 않는다.
• •복소수 는 실수에서 으로 정하면 실수 는 로 나타낼 수 있으므로 실수도 복소수이다.
• • 실수, 순허수


2. 복소수가 서로 같을 조건
   두 복소수 , 는 실수에 대하여
1. , 이면
   이면 ,
2. , 이면
   이면 ,


3. 켤레복소수
   복소수 는 실수에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 를 의 켤레복소수라 하고, 기호로 와 같이 나타낸다.
   
4. 복소수의 사칙연산
1. 복소수의 사칙연산
   실수 에 대하여
4. 
   (단,


2. 켤레복소수의 성질
   복소수 , 의 켤레복소수를 각각 , 라 할 때
2. (실수), (실수)
3. 
   
4. 
   단,


3. 의 거듭제곱
   은 자연수는 , , , 이 반복되어 나타나므로 다음과 같은 규칙성을 찾을 수 있다.
   
   
   
   
   단, 는 자연수
   
   
5. 음수의 제곱근
1. 음수의 제곱근
   일 때
2. 의 제곱근은 와 이다.
2. 음수의 제곱근의 성질
1. , 이면
2. , 이면

예제 1. 다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 구하시오.

 해설

1. 실수부분 : , 허수부분
2. 실수부분 : , 허수부분
3. 실수부분 : , 허수부분
4. 실수부분 : , 허수부분
5. 실수부분 : , 허수부분
6. 실수부분 : , 허수부분

예제 2. 다음을 계산하시오.

 해설

1. 실수부분끼리 허수부분끼리 나누어 정리한다.
   실수부분 :
   허수부분 :
   
2. 실수부분끼리 허수부분끼리 나누어 정리한다.
   실수부분 :
   허수부분 :
   
3. 에서 이다.
   
   실수부분 :
   허수부분 :
   

예제 3. 다음을 계산하시오.

 해설

1. 실수부분 :
   허수부분 :
   
2. 실수부분 :
   허수부분 :
   

예제 4. 다음 복소수의 켤레복소수를 구하시오.

 해설

예제 5. 다음을 계산하시오.

 해설