행렬의 역사

수학에서 행렬의 개념은 수 세기에 걸쳐 점진적으로 발전해 왔으며, 19세기에 이르러 특히 중요한 개념으로 자리 잡았습니다. "매트릭스(Matrix, 행렬)"라는 용어는 나중에 만들어졌지만, 그 기초적인 아이디어는 오랜 수학적 연구를 통해 발전해 왔습니다.

1. 초기 기원

숫자를 격자나 표 형태로 배열하는 방식은 고대부터 사용되었습니다. 예를 들어, 마방진(magic square)은 고대 중국, 인도 등 여러 문명에서 연구되었습니다. 그러나 이러한 배열은 오늘날 우리가 알고 있는 행렬 이론으로 공식화되지는 않았습니다.

마방진(magic square)
행, 열, 대각선의 숫자의 합이 동일하게 배열된 정사각형 격자

2. "매트릭스(Matrix, 행렬)"라는 용어

매트릭스(Matrix) 라는 단어는 라틴어 matrix에서 유래했으며, “모태” 또는 "어떤 것이 발생하는 근원"을 의미합니다. 수학에서 이 용어는 영국의 수학자 제임스 조셉 실베스터(James Joseph Sylvester)에 의해 1850년에 처음 도입되었습니다. 실베스터는 행렬식을 도출할 수 있는 숫자의 배열을 설명하기 위해 이 용어를 사용했습니다. 당시 수학자들은 주로 행렬식(정사각형 행렬에서 계산되는 특정 값)을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결했으며, 행렬 내부의 숫자는 이러한 행렬식을 생성하거나 유도하는 역할을 했습니다.

왜 "매트릭스(Matrix, 행렬)"라고 불리는가?

매트릭스(Matrix)는 본질적으로 숫자의 구조화된 배열 또는 틀입니다.
이 숫자들은 행렬식, 선형 방정식의 해, 또는 기하학적 변환과 같은 주요 수학적 결과의 근원으로 작용합니다.
매트릭스(Matrix, 행렬)는 마치 모태처럼 중요한 수학적 결과를 생산하거나 발생시키는 역할을 합니다. 이는 수학적 연산과 변환이 수행되는 원천이 됩니다.

실베스터는 아마도 숫자 배열이 중요한 수학적 결과를 유도하는 역할을 강조하기 위해 "매트릭스(Matrix)"라는 용어를 선택했을 것입니다. 매트릭스(Matrix)는 방정식이나 다른 수학적 연산을 해결하는 데 중요한 역할을 하므로, 그 기능을 시적으로 표현한 것입니다.

3. 행렬식의 발전

행렬 이론이 정식으로 발전하기 전에도, 수학자들은 이미 행렬식을 사용하고 있었습니다. 17세기 말, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)는 현대적 행렬 배열 없이도 행렬식을 사용하여 선형 방정식 시스템을 해결하는 도구로 사용했습니다.

18세기에는 일본의 수학자 세키 다카카즈와 유럽의 가브리엘 크레이머(Gabriel Cramer)가 독립적으로 크레이머의 법칙으로 알려진 규칙을 개발하였으며, 이는 행렬식을 사용하여 선형 시스템을 해결하는 방법입니다. 이 연구는 이후 행렬 이론의 발전을 위한 기초가 되었습니다.

4. 행렬 이론의 공식화

행렬 이론의 공식화는 19세기에 특히 유럽에서 빠르게 진행되었습니다. 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 선형 방정식 시스템을 해결하기 위한 방법인 가우스 소거법(Gaussian elimination)을 발전시키는 과정에서 암묵적으로 행렬을 사용했지만, 이를 독립적인 수학적 객체로 다루지는 않았습니다.

행렬 이론을 수학의 한 분야로 정립한 것은 영국 수학자 아서 케일리(Arthur Cayley)와 제임스 조셉 실베스터입니다. 1858년, 케일리는 자신의 논문 “행렬 이론에 대한 회고록”(A Memoir on the Theory of Matrices)을 발표하며, 행렬을 하나의 독립된 수학적 객체로 체계적으로 발전시켰습니다. 이 논문에서 그는 행렬 곱셈의 개념을 도입하고, 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton theorem)를 발표했는데, 이 정리는 모든 정방 행렬이 자신의 특성 방정식을 만족한다는 이론입니다.

5. 행렬 이론의 성장

케일리의 기여 이후, 행렬 이론은 특히 선형대수학 분야에서 독립된 수학적 연구 영역으로 자리 잡았습니다. 행렬은 다음과 같은 분야에서 중요한 도구가 되었습니다:

선형 방정식 시스템의 해결,
기하학적 변환의 표현 및 분석,
물리학에서 다양한 현상의 모델링.

20세기와 그 이후

20세기에 들어서면서, 행렬은 여러 수학적 및 과학적 분야에서 중심적인 역할을 하게 되었습니다:

양자역학에서 행렬은 양자 상태와 연산자를 설명하는 데 사용되었습니다.
컴퓨터 과학에서는 알고리즘, 데이터 처리, 컴퓨터 그래픽 분야에서 중요한 역할을 했습니다.
통계학과 경제학에서는 복잡한 시스템과 입력-출력 관계를 모델링하는 데 행렬이 사용되었습니다.

오늘날 행렬은 현대 수학에서 필수적인 개념으로 자리 잡았으며, 과학과 기술의 다양한 응용 분야에서 널리 사용되고 있습니다.

주요 기여

제임스 조셉 실베스터(1850): "매트릭스(Matrix, 행렬)"라는 용어를 도입하고, 케일리와 함께 초기 매트릭스(Matrix, 행렬) 이론 발전에 기여.
아서 케일리(1858): 행렬 이론을 체계적으로 정립하고, 행렬 곱셈과 케일리-해밀턴 정리를 도입.
카를 프리드리히 가우스(18세기–19세기): 선형 방정식 시스템을 푸는 방법인 가우스 소거법을 개발, 이는 행렬 이론의 핵심 기법.
윌리엄 로언 해밀턴(1843): 복소수의 확장 개념인 사원수를 연구하였으며, 이는 물리학에서의 행렬 역학과 3D 회전에 기여함.